Λύση σε γεωμετρικό πρόβλημα που έθεσε ο Σόιτσι Κακέγια το μακρινό 1917 βρήκαν δύο καθηγητές, μετά από 108 χρόνια.
O Ιάπωνας μαθηματικός είχε θέσει το εξής ερώτημα που έμεινε γνωστό ως «η εικασία του Κακέγια»: Πώς μπορείτε να περιστρέψετε μια βελόνα κατά 360 μοίρες, εξασφαλίζοντας ταυτόχρονα ότι η περιοχή στην οποία κινείται είναι όσο το δυνατόν μικρότερη;
Σήμερα έρχονται ο καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης, Χονγκ Γουάνγκ, και ο καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βρετανικής Κολομβίας στον Καναδά, Τζόσουα Ζαλ, να δώσουν λύση στο συγκεκριμένο πρόβλημα.
Η λύση που έδωσαν οι δύο καθηγητής στην «εικασία του Κακέγια»
Μία από τις δυνατότητες για την προσπάθεια επίλυσης του προβλήματος ήταν να στερεωθεί το ένα άκρο της βελόνας σε ένα σημείο και να περιστραφεί γύρω από αυτό το σημείο. Ένας άλλος τρόπος περιλαμβάνει την ταλάντευση της βελόνας μπρος-πίσω καθώς περιστρέφεται. Σε αυτή την περίπτωση, η κίνησή της θα σχημάτιζε ένα τρίγωνο με καμπύλες άκρες.
Για να μπορέσει η βελόνα να ανιχνεύσει τον κύκλο ή το τρίγωνο με την κίνησή της, πρέπει να βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι, δηλαδή σε δύο διαστάσεις. Ωστόσο, στον τρισδιάστατο χώρο, η βελόνα έχει να ακολουθήσει μεγαλύτερο αριθμό πιθανών κατευθύνσεων και το πέρασμα από όλες αυτές γίνεται πιο περίπλοκο.
Επομένως, για να μπορέσει να περάσει από όλες τις τρισδιάστατες κατευθύνσεις αφήνοντας ταυτόχρονα έναν ελάχιστο χώρο για την κίνηση, η βελόνα πρέπει να είναι απείρως στενότερη, κάτι σαν γραμμή. Μ’ αυτόν τον τρόπο, η βελόνα θα καλύπτει πολλές κατευθύνσεις χωρίς να καταλαμβάνει όγκο στο χώρο.
Πώς κατάφεραν οι δύο ερευνητές να λύσουν την «εικασία του Κακέγια»
Αν και η υπόθεση φαίνεται απλή, οι μαθηματικοί χρειάστηκαν δεκαετίες για να αποδείξουν τη θεωρία σε τρισδιάστατη μορφή. Οι μαθηματικοί Τζόσουα Ζαλ και Χονγκ Γουάνγκ κατάφεραν να βρουν απαντήσεις για το πώς η βελόνα θα μπορούσε να κινηθεί σε τρεις χωρικές διαστάσεις. Τα αποτελέσματα δημοσιεύτηκαν στο arXiv.
Η νέα εργασία φρόντισε να εξαλείψει κάθε πιθανότητα κατά την οποία ο αριθμός των διαστάσεων του σχήματος που ανιχνεύεται από τη βελόνα ήταν μικρότερος από τρεις. Με άλλα λόγια: εξασφάλισαν ότι η λύση τους ίσχυε για κάθε λύση άνω των 3 διαστάσεων. Για να το πετύχουν αυτό, εξέτασαν αν η απάντηση ίσχυε για 2,5 διαστάσεις, 2,5000001 διαστάσεις κ.ο.κ. Δεν έχει πολύ νόημα να σκεφτόμαστε σε σπασμένες «διαστάσεις»; Λοιπόν, θα πρέπει να γνωρίζετε ότι αυτό υπάρχει για τους μαθηματικούς.
Οι δυο τους κατάφεραν να αποδείξουν ότι τα σύνολα Kakeya δεν μπορούν να έχουν πολύ μικρές γεωμετρικές δομές, παρόλο που μπορούν να έχουν μηδενικό τρισδιάστατο όγκο. Με άλλα λόγια, τα σύνολα αυτά, ακόμη και με μηδενικό όγκο, έχουν τρισδιάστατη δομή. Το 1971, ο μαθηματικός Roy Davies κατάφερε να αποδείξει πώς η βελόνα μπορεί να κινείται σε δύο διαστάσεις (2D), αλλά κανείς δεν έχει αποδείξει τη δυνατότητα τρισδιάστατων κινήσεων μέχρι σήμερα.
«Ίσως η μεγαλύτερη ανακάλυψη στα μαθηματικά του τρέχοντος αιώνα»
«Η εργασία είναι ίσως η μεγαλύτερη ανακάλυψη στα μαθηματικά του τρέχοντος αιώνα», δήλωσε ο Νετς Κατζ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Rice στο περιοδικό New Scientist.
«Επιλύει πλήρως ένα πρόβλημα που έχει αντιμετωπιστεί με διάφορες τεχνικές από αρκετές από τις κορυφαίες προσωπικότητες στον τομέα (σ.σ. των μαθηματικών), οι περισσότεροι από τους οποίους έχουν επιτύχει μόνο μέτρια επιμέρους αποτελέσματα».
